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2018年高考数学(理)一轮复*文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 Word版含答案

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知识点 坐标系 参数方程 考纲下载 .理解坐标系的作用. .了解在*面直角坐标系伸缩变换作用下*面图形的变化情况. .能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和*面 直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互 化. .能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐 标系和*面直角坐标系中的方程,理解用方程表示*面图形时选择 适当坐标系的意义. .了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空 间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别. .了解参数方程,了解参数的意义. .能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. .了解*摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. .了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线 在表示行星运动轨道中的作用. 第讲 坐标系 .坐标系 ()伸缩变换 设点(,)是*面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :的作用下, 点(,)对应到点(λ ,μ ),称 φ 为*面直角坐标系中的伸缩变换. ()极坐标系 在*面内取一个定点,叫做极点;自极点引一条射线,叫做极轴;再选一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 设是*面内一点,极点与点的距离叫做点的极径,记为 ρ ;以极轴为始边,射线为终 边的角叫做点的极角,记为 θ ,有序数对(ρ ,θ )叫做点的极坐标,记为(ρ ,θ ). .直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,轴的正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单 位.设是*面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(,)和(ρ ,θ ),则θ ,=ρ θ ,)) θ =()(≠).)) .直线的极坐标方程 若直线过点(ρ ,θ ),且极轴到此直线的角为 α ,则它的方程为:ρ (θ -α )=ρ (θ -α ). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: ()直线过极点:θ =θ 和 θ =π +θ ; ()直线过点(,)且垂直于极轴:ρ θ =; ()直线过且*行于极轴:ρ θ =. .圆的极坐标方程 若圆心为(ρ ,θ ),半径为,则该圆的方程为: ρ -ρ ρ (θ -θ )+ρ -=. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: ()当圆心位于极点,半径为:ρ =; ()当圆心位于(,),半径为:ρ =θ ; ()当圆心位于,半径为:ρ =θ . 极坐标与直角坐标的互化 ()已知直线的极坐标方程为ρ =,点的极坐标为,求点到直线的距离. ()化圆的直角坐标方程+=(>)为极坐标方程. 【解】 ()由 ρ =,得 ρ θ -(()) θ )) =,所以-=.由点的极坐标为得点 的直角坐标为(,-),所以==.即点到直线的距离为. ()将=ρ θ ,=ρ θ 代入+=中,得 ρ θ +ρ θ =,即 ρ (θ +θ )=,ρ =. 所以,以极点为圆心、半径为的圆的极坐标方程为 ρ =(≤θ <π ). 极坐标与直角坐标互化的注意点 ()在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的 极坐标将不唯一. ()在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. (·高考北京卷改编)在极坐标系中,直线 ρ θ -ρ θ -=与圆 ρ = θ 交于,两点,求. 将 ρ θ -ρ θ -=化为直角坐标方程为--=,将 ρ = θ 化为直角坐标方程为(-) +=,圆心坐标为(,),半径=,又(,)在直线--=上,所以==. 求曲线的极坐标方程 在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方 程为ρ =(≤θ <π ),,分别为曲线与轴,轴的交点. ()写出曲线的直角坐标方程,并求,的极坐标; ()设的中点为,求直线的极坐标方程. 【解】 ()由 ρ =得 ρ θ +(()) θ )) =. 从而曲线的直角坐标方程为+=, 即+-=. 当 θ =时,ρ =,所以(,). 当 θ =时,ρ =, 所以. ()点的直角坐标为(,),点的直角坐标为. 所以点的直角坐标为, 则点的极坐标为. 所以直线的极坐标方程为θ =(ρ ∈). 求曲线的极坐标方程的步骤 ()建立适当的极坐标系,设(ρ ,θ )是曲线上任意一点; ()由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式; ()将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. 在极坐标系中,已知圆经过点,圆心为直线 ρ =-与极轴的交点,求 圆的极坐标方程. 在 ρ =-中, 令 θ =,得 ρ =, 所以圆的圆心坐标为(,). 如图所示,因为圆经过点, 所以圆的半径 =(π ))=, 于是圆过极点,所以圆的极坐标方程为 ρ = θ . 曲线极坐标方程的应用 (·高考全国卷甲)在直角坐标系中,圆的方程为(+)+=. ()以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程; ()直线的参数方程是α ,= α ))(为参数),与交于,两点,=,求的斜率. 【解】 ()由=ρ θ ,=ρ θ 可得圆的极坐标方程为 ρ +ρ θ +=. ()在()中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为 θ =α (ρ ∈). 设,所对应的极径分别为 ρ ,ρ ,将的极坐标方程代入的极坐标方程得 ρ +ρ α +=. 于是 ρ +ρ =- α ,ρ ρ =. =ρ -ρ = =. 由=得α =, α =±. 所以的斜率为或-. 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时,如果不能直接用极 坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解. (·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系中,直线:=-,圆:(-)+(-)=, 以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ()求,的极坐标方程; ()若直线的极坐标方程为 θ =(ρ ∈),设与的



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