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创新设计浙江专用2016_2017学年高中数学第二章基本初等函数I2.3幂函数*题课新人教版必修1

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【创新设计】 (浙江专用)2016-2017 学年高中数学 第二章 基本初 等函数(I)2.3 幂函数*题课 新人教版必修 1
1.下列函数中,定义域为 R 的函数是(
3

)
2

A.y=x4

B.y=x

1 - 3

C.y=x3

D.y=x

-3

3 1 1 4 3 - 解析 y=x4= x ,定义域为[0,+∞);y=x 3= ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞); 3

x

y=x3= x2,定义域为 R;y=x-3= 3,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). x
答案 C 2.函数 f(x)=?log x?的单调递增区间是(
2

2

3

1

? ?

1

? ?

) B.(0,1] D.[1,+∞)

? 1? A.?0, ? ? 2?
C.(0,+∞)
1 2

解析

? ?-log x,x≥1, f(x)=? 当 x≥1 时,t=log x 是减函数,f(x)=-log x 是增函 ? ?log x,0<x<1.
1 2 1 2 1 2

数,故 f(x)的单调增区间为[1,+∞). 答案 D 3.已知 f(x)是函数 y=log2x 的反函数,则 y=f(1-x)的图象是( )

解析 函数 y=log2x 的反函数为 y=2 ,故 f(x)=2 ,于是 f(1-x)=2

x

x

1-x



?1? ?2? ? ?

x-1
,此函数在 R 上为减函数,其图象经过点(0,2),只有选项 C 中的图象符合要求.

答案 C 4.已知 a=log23+log2 3, b=log29-log2 3, c=log32, 则 a, b, c 的大小关系为________.
1 3 3 3 2- 解析 由已知得 a= log23,b=log23 2= log23> ,c=log32<1,故 a=b>c. 2 2 2

答案 a=b>c

1

1 ? ?log x,x≥1, 5.函数 f(x)=? 2 的值域为________. x ? ?2 ,x<1 解析 当 x≥1 时,log1x≤log11=0,
2 2

∴当 x≥1 时,f(x)≤0. 当 x<1 时,0<2 <2 , 即 0<f(x)<2.因此函数 f(x)的值域为(-∞,2). 答案 (-∞,2) 6.已知 1<x<10,试比较(lg x) ,lg x ,lg(lg x)的大小. 解 由 1<x<10 知 1<x <100,故 0<lg x<1, (lg x) >0,lg x >0,lg(lg x)<0. (lg x) lg x 又 = < 1, 2 lg x 2 所以(lg x) <lg x , 因此 lg(lg x)<(lg x) <lg x . 7.已知幂函数 y=f(x)=x-2m -m+3,其中 m∈{x|-2<x<2,x∈Z},满足: (1)是区间(0,+∞)上的增函数; (2)对任意的 x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0.求同时满足(1),(2)的幂函数 f(x)的解析式, 并求 x∈[0,3]时 f(x)的值域. 解 因为 m∈{x|-2<x<2,x∈Z},
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

1

所以 m=-1,0,1. 因为对任意 x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0, 即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 当 m=-1 时,f(x)=x 只满足条件(1)而不满足条件(2); 当 m=1 时,f(x)=x 条件(1)、(2)都不满足; 当 m=0 时,f(x)=x 条件(1)、(2)都满足,且在区间[0,3]上是增函数. 所以 x∈[0,3]时,函数 f(x)的值域为[0,27]. 8.已知函数 y=log1(x -ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2 2 3 0 2

解 令 g(x)=x -ax+a,g(x)在(- ∞, 2]上是减函数,
2

1 2 ∵0< <1,∴y=log1g(x)是减函数,又已知复合函数 y=log1(x -ax+a)在区间(-∞, 2 2 2
2

2)上是增函数, ∴只要 g(x) 在 ( -∞, 2 ) 上单调递减,且 g(x) > 0 , x ∈ ( -∞, 2 ) 恒成立,则

a ? ? 2≤2, ? ? ?g( 2)=( 2)2- 2a+a≥0,
∴2 2≤a≤2( 2+1), 故所求 a 的取值范围是[2 2,2( 2+1)]. 能 力 提 升 log2x,x>0 ? ? 9.设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( log (-x),x<0, ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 解析 由题意可得?
? ?a>0, ?log2a>-log2a ?

)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

a<0, ? ? 或? 1 log (-a)>log2(-a), ? ? 2
解之可得 a>1 或-1<a<0. 答案 C 10.如图所示,函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为( )

解析 当 x>0 时, f(x)=logax+1, 其图象可以看作 f(x)=logax 的图象向上*移一个单 位而得到的,又因 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是偶函数,所以 x<0 时的图象与 x>0 时 的图象关于 y 轴对称. 答案 A

3

?(a-2)x-1,x≤1, ? 11.已知函数 f(x)=? 若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数 a ? ?logax,x>1,

的取值范围为________. 解析 ∵函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,

a-2>0, ? ? ∴a 的取值需满足?a>1, 解得 2<a≤3. ? ?loga1≥a-2-1,
答案 {a|2<a≤3} 12.已知函数 f(x)=|lg x|,若 f(a)=f(b)(a>b>0),则 a·b=________. 解析 ∵f(a)=f(b),∴|lg a|=|lg b|, ∴(lg a) =(lg b) ,∴(lg a+lg b)(lg a-lg b)=0, ∴lg a·b=0 或 lg a=lg b. 又∵a>b>0,∴a·b=1. 答案 1 13.已知函数 f(x)=ln (a -b )(a>1>b>0). (1)求函数 f(x)的定义域 I; (2)判断函数 f(x)在定义域 I 上的单调性,并说明理由; (3)当 a,b 满足什么关系时,f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值. 解
x x x
2 2

(1)∵f(x)=ln(a -b )(a>1>b>0)要有意义,
x

x

x

∴a -b >0,即? ? >1.又 a>1>b>0, b ∴ >1,∴x>0, ∴所求定义域 I 为(0,+∞). (2)f(x)在定义域上是单调递增函数. 证明:令 0<x1<x2, ∵a>1>b>0, ∴a <a ,b >b , ∴a -b <a -b , ∴ln(a -b )<ln(a -b ), ∴f(x1)<f(x2),故原函数在定义域上是单调递增函数.
4
x1 x1 x2 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2

?a? ? ?

x

a b

(3)要使 f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值,须 f(x)在区间[1,+∞)上的最小值大于 0. 由(2)知 f(x)min=f(1)=ln(a-b). ∵ln(a-b)>0,∴a-b>1. 故 f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值时有 a-b>1. 探 究 创 新 14.已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1? 如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)∵a>0 且 a≠1,设 t(x)=3-ax,则 t(x)=3-ax 为减函数,x∈[0,2]时,t(x)

最小值为 3-2a,当 x∈[0,2],f(x)恒有意义,即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0.∴a< . 2

? 3? 又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪?1, ?. ? 2?
(2)t(x)=3-ax,∵a>0, ∴函数 t(x)为减函数, ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数, ∴y=loga t 为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a),
? ?3-2a>0, ∴? 即 ?loga(3-a)=1, ?

3 ? ?a<2, ? 3 故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上 ? ?a=2,

为减函数,并且最大值为 1.

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