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§2.7-2.8线性谐振子 势垒贯穿

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§2.7 线性谐振子
一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程
(1)方程的建立 (2)求解 (3)应用标准条件 (4)厄密多项式 (5)求归一化系数 (6)讨论

二、物理意义

引言
经典力学中质量为 ? 的粒子,受弹性力 F = - kx 作用,由牛顿 第二定律可得运动方程:

d2x ? kx ? ? 2 ? x?? ? ? 2 x ? 0 dt

其中

??

k

?

其解为 x = Asin(ω t + δ),这种运动称为简谐振动,作 这种运动的粒子叫谐振子。

因为

dV F ?? dx

所以

V ? ? kxdx ?

1 1 2 2 2 kx ? V0 ? ?? x ? V0 2 2

若取V0 = 0,即选取*衡位置处势能为 0,则

1 V ? ?? 2 x 2 2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述 的势场中运动的粒子。

为什么研究线性谐振子?
l

自然界广泛碰到简谐振动,任何体系在*衡位置附*的小振动,例 如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往 都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为 复杂运动的初步*似,所以简谐振动的研究,无论在理论上还是在 应用上都是很重要的。例如双原子分子,两原子间的势V是二者相对 距离x的函数,如图所示。在 x = a 处,V 有一极小值V0 。在 x = a 附*势可以展开成泰勒级数:

1 ?V V ( x ) ? V (a ) ? 1! ?x
1 ? 2V ? V0 ? 2! ?x 2

1 ? 2V ( x ? a) ? 2! ?x 2 x ?a
( x ? a )2

( x ? a )2 ? ?
x ?a

V(x)

x ?a

a
0
V0

x

1 ? V0 ? k ( x ? a )2 2

? 取新坐标原点为(a, U0),则势能可表示为标准谐 振子势能的形式:
1 U ( x ) ? kx 2 2

可见,一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线 性谐振动来*似描述。

U (r )

0

a

r

(1)方程的建立
线性谐振子的 Hamilton 量:

? p2 1 ?2 d 2 1 2 2 ? ? H ? ?? x ? ? ? ??2 x 2 2? 2 2? dx2 2
? ?2 d 2 ? 1 ? [ E ? ?? 2 x 2 ]?? ( x ) ? 0 ? 2 ? dx2 2 ? ? ? d2 2? 1 2 2 ? ? 2 [ E ? ?? x ]?? ( x ) ? 0 ? 2 ? 2 ? ? dx
引入无量纲变量ξ代替 x

令 : ? ? ?x 其 中 ? ?

??

? , 则 : ? ( x ) ? ? ( ) ? ? (? ) ? ?
2E ?? ??

d 2? ? (? ? ? 2 )? ? 0 d? 2

其中

(2)求解

d 2? ? [? ? ? 2 ]? ? 0 d? 2

先看渐*解,即当 ξ→±∞ 时波函数ψ的行为。此时, λ<< ξ2,于是方程变为:

d 2?? ? ? 2?? ? 0 d? 2
其渐*解为:

?? ~ e

?? 2 / 2

满足束缚态条件:

?? ? 0,

x ??

d 2? 为了使方程 ? [? ? ? 2 ]? ? 0的波函数? d? 2 在无穷远处有 ? ~ e ?
?? 2 / 2

渐*形式,令:

? (? ) ? H (? )e

?? 2 / 2

? 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标 准条件。即: l ① 当ξ有限时,H(ξ)有限; l ② 当ξ→∞时,H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。

H ???? ? ? 2?H ??? ? ? (? ? 1) H ?? ? ? 0 ——厄密方程
可以证明,只有当:? ? 1 ? 2n, n ? 0, 1, 2, ?

方程才有满足束缚态条件的级数解

下面给出前几个厄密多项式具体表达式: H0 (ξ)=1 H1 (ξ)=2ξ

H2 (ξ)=4ξ2-2
H3 (ξ)=8ξ3-12ξ
dn H n (? ) ? ( ?1)n e xp[ 2 ] ? e xp[ ? 2 ] ? n d?

1 2 ?n (? ) ? N n exp[? ? ]H n (? ) 2
2E ?? ?? 1 E n ? ?? ( n ? ), n ? 0, 1, 2, ? 2 归一化波函数:

? ? 2n ? 1

? n ( x ) ? ?n (? ) ? ? 2 n n! ?
其中: 1 2 2 exp[? ? x ] H n (?x ) 2

?? ?? ?

宇称
(1)空间反射变换: ? ? ? ? r ? ?r ? (r , t ) ? ? (? r , t )
(2)此时如果有: ? ? ? (? r , t ) ? ?? (r , t ) ? ? ? (? r , t ) ? ?? (r , t )

称波函数具有偶宇称;

称波函数具有奇宇称;

? ? (3)如果在空间反射下, ? (? r , t ) ? ?? (r , t )

则波函数没有确定的宇称。

1、定态波函数

? n ?? ?在有限范围内与?轴相交n次,? n ?? ? ? 0有
n个根,在大 ? 值处迅速衰减。

2、几率密度

? n ?? ? ,? n ?? ?有n ? 1个极大几率点, 个零 n
2

点( ??除外)。 在量子数n很大时,量子趋向经典 ,微观趋向宏观

而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都 能找到粒子,没有节点。
|?10|2

-4

-2

2

4

?

n=10时的概率密度分布

3、能级

En ? (n ? 1 )?? 2

(1)能量等间距:?En ? ?? (2) En ? 0, E0 ? 1 ??为基态,称零点能 2
(3)谐振子的零点振动能 1 ??,这是测不准关系 2 所要求的最小能量,即使在T ? 0 K,固体中原子 也不停止振动。
这与无限深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的,是微观粒子波 粒二相性的表现,零点能是量子效应。

? 对应一个谐振子能级只有一个本征函数,即一个状态,所以能级是非 简并的。

4、基态波函数

1 ?1 E0 ? ??,谐振子特征长度x ? ? ? ?? / ? , 在 2 此处V ( x) x ?? ?1 ? E0 , 经典:基态谐振子只能在 x ? ? , ? 1区域运动。 ? ? , ? ? 1为经典禁区. ? x
?1 ?1

? ??x ? 0 ?x ? ? e H 0 (?x) ?
1 2 2 2

一维“无限深势阱”和“线性谐振子”是束缚态问题, 具有分立的能量本征值。如具有确定动量和能量的粒子 由无穷远入射,与“有限高”一维势阱相互作 用(或称发生散射),又传播到无穷远处。

§2.8 势垒贯穿

? ?

按照经典力学,粒子不可能穿过势垒。 但按照量子力学计算,粒子能穿过比它动能更高的势垒, 这种现象称为隧道效应(tunnel effect)。 透射系数:

16 E (V0 ? E ) 2a |T | ? exp[? 2m(V0 ? E ) ] V0 ?
2

经典

隧道 效应

量子

隧道效应的应用(1)

解释原子核?衰变
U

35MeV

E? ? 4.25 MeV ?
0

R

r

George Gamov
238

U?

234

Th + He

4

隧道效应应用(2) STM

[德]G.Binnig

[瑞士] H.Rohrer

[德] N.Ruska

1982年发明扫描隧道显微镜 1933年发明电子显微镜 Scanning Tunneling Microscopy 1986 Nobel Prize

神经细胞的STM扫描图

硅表面的STM扫描图

1991 年 恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移 动氙原子拚成了字母IBM ,每个字母长5 纳米

本章要求
1 理解和掌握波函数的统*馐秃土孔恿ρУ牡谝惶趸炯俣

2 掌握态迭加原理
3 掌握薛定谔方程和量子力学的第二条基本假定 4 掌握定态、定态薛定谔方程、哈密顿算符、本征方程、本征 值和本征函数等概念 5 掌握求解一维定态Schr? dinger 方程的基本步骤; 6 了解能量量子化,束缚态,零点能,分立谱,连续谱,厄密多项式 等概念。

本章要求




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