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精选2019春九年级数学下册第二章二次函数2.5二次函数与一元二次方程课时作业新版北师大版

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2.5 二次函数与一元二次方程

知识要点基础练
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系 1.(陕西中考)下列关于二次函数 y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与 x 轴交点的判断,正确的是 (D) A.没有交点 B.只有一个交点,且它位于 y 轴右侧 C.有两个交点,且它们均位于 y 轴左侧 D.有两个交点,且它们均位于 y 轴右侧 2.(孝感中考)如图,抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),则 方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2,x2=1 .

知识点 2 利用抛物线与 x 轴交点的个数求取值范围

3.抛物线 y=kx2-7x-7 的图象和 x 轴有交点,则 k 的取值范围是

(B)

A.k>-

B.k≥- 且 k≠0

C.k≥-

D.k>- 且 k≠0

【变式拓展】(锦州中考)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c 为常数)的图象如图所示,则

ax2+bx+c=m 有实数根的条件是

(B)

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A.m≤-2

B.m≥-2

C.m≥0

D.m>4

4.若二次函数 y=x2+(a+1)x+a 的图象与 x 轴有两个不同的交点,其中只有一个交点在 x 轴的 正半轴上,则 a 的取值范围是 a<0 .

5.已知关于 x 的函数 y=ax2+x+1(a 为常数).

(1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点,求 a 的值;

(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在 x 轴上方,求 a 的取值范围.

解:(1)当 a=0 时,函数 y=x+1,它的图象显然与 x 轴只有一个交点(-1,0).

当 a≠0 时,依题意得方程 ax2+x+1=0 有两个相等的实数根,∴Δ =1-4a=0,∴a= .

∴当 a=0 或 a= 时,函数图象与 x 轴恰有一个交点. (2)若 a>0,要使抛物线的顶点始终在 x 轴上方,

则抛物线与 x 轴无交点,∴Δ =1-4a<0,∴a> ; 若 a<0,要使抛物线的顶点始终在 x 轴上方, 则抛物线与 x 轴有两个交点, ∴Δ =1-4a>0,∴a<0.

∴当 a> 或 a<0 时,抛物线顶点始终在 x 轴上方. 知识点 3 利用二次函数求一元二次方程的*似根
6.(兰州中考)下表是一组二次函数 y=x2+3x-5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值: x1 1.1 1.21.31.4 - -0. 0.00.51.1 y 1 49 4 9 6

那么方程 x2+3x-5=0 的一个*似根是 (C)

A.1

B.1.1

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C.1.2

D.1.3

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7.利用二次函数 y=- x2+x+2 的图象和性质,求方程- x2+x+2=0 在 3 和 4 之间的根的*似 值.(结果精确到 0.1)

解:作出二次函数 y=- x2+x+2 的图象(函数图象略).
由于方程- x2+x+2=0 的根是函数 y=- x2+x+2 与 x 轴交点的横坐标, 所以由图象可知方程有两个根,一个在-2 和-1 之间,另一个在 3 和 4 之间. 当 x=3.2 时,y=0.08,当 x=3.3 时,y=-0.145,因此,x=3.2 是方程的一个*似根.

故方程- x2+x+2=0 在 3 和 4 之间的根的*似值为 3.2.

综合能力提升练

8.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是

(D)

A.ac<0

B.当 x=1 时,y>0

C.方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于 1 的实数根

D.存在一个大于 1 的实数 x0,使得当 x<x0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>x0 时,y 随 x 的增大而 增大

9.(苏州中考)若二次函数 y=x2+bx 的图象的对称轴是经过点(2,0)且*行于 y 轴的直线,则关

于 x 的方程 x2+bx=5 的解为

(D)

A.x1=0,x2=4

B.x1=1,x2=5

C.x1=1,x2=-5

D.x1=-1,x2=5

10.若函数 y=x2-2x+b 的图象与坐标轴有三个交点,则 b 的取值范围是 (A)

A.b<1 且 b≠0

B.b>1

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C.0<b<1

D.b<1

11.如图所示,抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B(-1,3),与 x 轴的交点 A 在点(-3,0)和(-2,0)之 间,以下结论:①b2-4ac=0;②a+b+c>0;③2a-b=0;④c-a=3.其中正确的有 (B)

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

12.关于抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0),下列结论中,正确的有

(A)

①当 a>0 时,对称轴左边 y 随 x 的增大而减小,对称轴右边 y 随 x 的增大而增大,当 a<0 时, 情况相反;

②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点;

③只要表达式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同;

④一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,就是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标.

A.①②③④

B.①②③

C.①②

D.①③④

13.(武汉中考)已知关于 x 的二次函数 y=ax2+(a2-1)x-a 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为

(m,0).若 2<m<3,则 a 的取值范围是 <a< 或-3<a<-2 . 14.利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2-2x-1=0 的*似根.(结果精确到 0.1) 解:方程 x2-2x-1=0 的根是函数 y=x2-2x-1 与 x 轴交点的横坐标. 作出二次函数 y=x2-2x-1 的图象,如图所示,

由图象可知方程有两个根,一个在-1 和 0 之间,另一个在 2 和 3 之间. 推荐精品 K12 资料

推荐精品 K12 资料 先求-1 和 0 之间的根, 当 x=-0.5 时,y=0.25;当 x=-0.4 时,y=-0.04. 因此,x=-0.4 是方程的一个*似根, 同理,x=2.4 是方程的另一个*似根.

15.(宁波中考)已知抛物线 y=(x-m)2-(x-m),其中 m 是常数. (1)求证:不论 m 为何值,该抛物线与 x 轴一定有两个公共点.

(2)若该抛物线的对称轴为直线 x= . ①求该抛物线的函数表达式; ②把该抛物线沿 y 轴向上*移多少个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点. 解:(1)y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m, ∵Δ =(2m+1)2-4(m2+m)=1>0, ∴不论 m 为何值,该抛物线与 x 轴一定有两个公共点.

(2)①∵该抛物线的对称轴是直线 x= ,

∴-

,∴m=2,

∴抛物线的表达式为 y=x2-5x+6.

②∵y=x2-5x+6=

,

∴该抛物线的顶点为

,

∵抛物线开口向上,∴把该抛物线沿 y 轴向上*移 个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有 一个公共点.

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拓展探究突破练

推荐精品 K12 资料 16.(株洲中考)已知二次函数 y=ax2-5 x+c(a≠0)的图象与 x 轴相交于原点右侧不同的两 点. (1)若抛物线的对称轴为直线 x= ,求 a 的值; (2)若 a=15,求 c 的取值范围.

解:(1)对称轴为 x=- =-

,

∴a= . (2)∵a=15, ∴15x2-5 x+c=0 有两个不相等的实数根,且 c>0,

∴(-5 )2-4×15c>0,∴c< ,

∴c 的取值范围是 0<c< .

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